روابط ضمنی

تفاوت زیادی بین کسی وجود دارد که صریحاً به شما بگوید که به مدل مو احتیاج دارید و کسی به طور ضمنی به شما می گوید. یک اظهار نظر ضمنی ممکن است چیزی شبیه به "من فکر می کنم شما با موهای کوتاه بهتر به نظر می رسید" در حالی که یک صریح است ، "برو موهای خود را بریده!". معادلات در حساب تفاوت مشابهی بین صریح و ضمنی دارند. بنابراین در ادامه بخوانید تا بفهمید چگونه می توانید روابط ضمنی را مدیریت کنید!

روابط ضمنی در حساب

انواع معادله هایی که احتمالاً برای کار با آنها در حساب کاربری استفاده می کنید معادلات فرم هستند

این نوع معادلات روابط صریح را تعریف می کنند ، به عبارت دیگر ، جایی که می توانید صریحاً برای (y ) حل کنید. با این حال ، بسیاری از معادلات جالب که شما در حساب کاربری آنها را اجرا خواهید کرد ، چندان ساده نیستند.

بعضی اوقات ، آنها از شکل هستند:

این معادلات روابط ضمنی را تعریف می کنند.

یک رابطه ضمنی در ریاضیات ، جایی است که شما نمی توانید صریحاً برای یک متغیر برای نوشتن رابطه به عنوان یک تابع حل کنید.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

در معادله ، (x^3+y^3 = 6xy ) آیا می توانید صریحاً برای (y ) حل کنید؟

نه ، هیچ راهی برای نوشتن این مطلب به عنوان (y = textx. ) وجود ندارد ، بنابراین ، این یک رابطه ضمنی است. در واقع ، این شخص مشهور به نام فولیوم دکارت است. اگر رابطه را نمودار کنید ، به نظر می رسد نمودار زیر است.

شکل 1 - نمودار فولیوم دکارت.

توجه کنید که این یک تابع نیست زیرا آزمایش خط عمودی را شکست می دهد!

برای یادآوری در مورد آزمون خط عمودی و توابع صریح تعریف شده ، به توابع مقاله مراجعه کنید.

روابط ضمنی در ریاضیات

بنابراین شکل کلی یک رابطه ضمنی چیست؟این یک معادله فرم است

که در آن (f (x ، y) ) و (g (x ، y) ) توابع دو متغیر هستند.

در زمینه حساب ، یک رابطه ضمنی توسط یک معادله تعریف می شود که متغیر وابسته در یک طرف معادله جدا نمی شود. در حالی که می توانید این کار را به بیش از دو متغیر گسترش دهید ، در حال حاضر ، بیایید با دو نفر بچسبیم زیرا اغلب می توان آنها را به خوبی تهیه کرد.

دایره ای با محوریت مبدأ با شعاع (2 ) نمونه ای از رابطه ضمنی است که توسط معادله ارائه شده است:

برای نوشتن آن به فرم ذکر شده در بالا ، بگذارید (f (x ، y) = x^2+y^2 ) و (g (x ، y) = 4. ) هیچ کس نگفت که باید وجود داشته باشدواقعی (x ) یا (y ) در هر دو (f ) و (g. )

حتی اگر این معادلات کارکردی نیستند ، اما هنوز هم می توانید آنها را مطالعه کنید.

یک رابطه باینری (در اعداد واقعی) مجموعه ای از جفت های مرتب شده ((x ، y) ) از اعداد واقعی است.

یک رابطه باینری می تواند یک تابع باشد! ممکن است یا ممکن است نتواند به عنوان یک معادله نوشته شود.

معادله (y-x^2=0) رابطه باینری را تعریف می کند

توجه داشته باشید که این در واقع یک تابع است زیرا می توان آن را به صورت (y=x^2) نوشت.

نوشتن معادله به عنوان یک رابطه دودویی، (y-x^2=0) را به عنوان یک قاعده در نظر می گیرد که به شما می گوید آیا یک جفت اعداد خاص باید در رابطه متناظر آن باشد یا خیر.

هر جفت اعداد واقعی ((a, b)) را انتخاب کنید. اگر (b-a^2=0)، آنگاه به رابطه مربوط به معادله (y-x^2=0 تعلق دارد). این فقط زمانی اتفاق می افتد که (b=a^2). در غیر این صورت، ((a, b)) به رابطه تعلق ندارد.

همه روابط باینری تابع نیستند!

به رابطه تعریف شده با معادله (x^2+y^2=1) نگاه کنید. دایره ای است که در مبدأ شعاع (1) قرار دارد. با نوشتن آن به عنوان یک رابطه باینری، دریافت می کنید

بنابراین این رابطه باینری یک تابع نیست.

در واقع، (x^2+y^2=1) به طور ضمنی نوشته شده است، در حالی که شما می توانید این را به طور صریح به صورت (y=pmsqrt ) بنویسید.

همه روابط و حتی همه توابع را نمی توان با یک معادله تعریف کرد. در واقع اکثر توابع ریاضی را نمی توان با یک معادله تعریف کرد! اگر به کلاهی دست پیدا کردید که شامل تمام توابع ممکن روی اعداد واقعی بود، احتمال دارد یکی را انتخاب کنید که با یک معادله یا الگوریتم قابل تعریف نباشد. ما چنین توابعی را توابع غیر قابل محاسبه می نامیم.

برای صحبت در مورد روابط باینری به برخی اصطلاحات نیاز دارید. با توجه به هر رابطه باینری و هر عنصر ((a, b)) در آن رابطه:

(a) ورودی آن رابطه است.

(b) خروجی آن رابطه است. و

تابع نوع خاصی از رابطه است که می تواند تنها یک خروجی برای هر ورودی داشته باشد.

به عبارت دیگر، اگر ((a, b)) عنصری از یک تابع باشد و ((a, c)) نیز عنصری از یک تابع باشد، آنگاه (b=c).

نمودارهای روابط ضمنی

نمودار یک رابطه ضمنی مجموعه نقاطی در صفحه است که با جفت های مرتب شده در آن رابطه مطابقت دارد. نمودارها و روابط کاملاً یکسان نیستند. یک رابطه فقط مجموعه ای از جفت های مرتب شده از اعداد است. نمودار یک رابطه، تفسیر هندسی آن رابطه است. جفت های مرتب شده از اعداد را به نقاط هواپیما اختصاص می دهد.

رابطه مربوط به معادله (y^2=x^3-x+0. 2) مجموعه است

نمودار مربوط به این رابطه به صورت زیر است:

شکل 2 - نمودار مربوط به یک رابطه راهی برای مشاهده هندسی عناصر آن رابطه است.

این نمونه ای از منحنی بیضوی است، نوعی منحنی که در نظریه اعداد مهم است. این نوع منحنی ها برای اثبات آخرین قضیه فرما توسط اندرو وایلز ضروری بودند و در رمزنگاری نیز مهم هستند.

توجه کنید که این منحنی تابعی نیست زیرا آزمایش خط عمودی را شکست می دهد!

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم.

این یک منحنی بیضوی دیگر است ، (y^2 = x^3 - x + 1 ). توجه کنید که این یک عملکرد نیز نیست ، اما یک رابطه ضمنی است.

شکل 3 - نمونه دیگری از منحنی بیضوی.

اگر می خواهید بدانید چه زمانی می توانید یک رابطه ضمنی برقرار کنید و آن را به قطعاتی که در واقع توابع هستند ، تجزیه کنید ، به قضیه عملکرد ضمنی نیاز خواهید داشت. این شامل گرفتن مشتقات جزئی است.

برای یادآوری مشتقات جزئی ، به تمایز ضمنی مراجعه کنید.

مشتقات روابط ضمنی

مشتق یک رابطه ضمنی را می توان با استفاده از مشتقات جزئی یافت. بیایید نگاهی گذرا به یک مثال بیندازیم و برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد چگونگی مشتقات جزئی ، به مقاله تمایز ضمنی مراجعه کنید.

مشتق رابطه ضمنی تعریف شده توسط معادله (y^2 = x^3-x+1 ) را پیدا کنید.

با تمایز هر دو طرف رابطه شروع کنید:

سمت راست معادله را می توان طبق معمول متمایز کرد:

به یاد داشته باشید که (y ) تابعی از (x ) است. بنابراین گرفتن مشتق سمت چپ معادله ای که می گیرید:

جایی که شما از قانون زنجیره ای استفاده کرده اید.

با هم جمع می شوید ، می گیرید

ممکن است در مورد خطوط مماس برای روابط ضمنی تعجب کنید. برای کسب اطلاعات بیشتر و نمونه هایی از آن ، مقاله را به طور ضمنی در یافتن خطوط مماس مشاهده کنید.

روابط ضمنی - غذای کلیدی

• یک رابطه ضمنی در ریاضیات ، جایی است که شما نمی توانید صریحاً برای یک متغیر برای نوشتن رابطه به عنوان یک تابع حل کنید.
  • همه توابع را می توان به صراحت نوشت.
  • همه معادلات را نمی توان صریحاً نوشت.
  • همه کارکردها روابط باینری هستند.
  • همه روابط باینری توابع نیستند.

  (a) ورودی آن رابطه است.

  (b) خروجی آن رابطه است. و

  تابع نوع خاصی از رابطه است که می تواند تنها یک خروجی برای هر ورودی داشته باشد.

  سوالات متداول در مورد روابط ضمنی

  رابطه ضمنی چیست؟

  در حساب ، یک رابطه ضمنی معادله ای است که متغیر وابسته در یک طرف معادله جدا نمی شود.

  نمونه ای از یک عملکرد ضمنی چیست؟

  نمونه ای از یک عملکرد ضمنی ، نیمه بالایی دایره واحد است. این عملکرد ضمنی است زیرا از رابطه ضمنی توصیف دایره واحد ناشی می شود.

  توابع صریح و ضمنی چیست؟

  یک تابع صریح تابعی است که توسط یک معادله تعریف شده است که در آن متغیر وابسته در یک طرف معادله جدا می شود. یک تابع ضمنی تابعی است که توسط یک معادله تعریف می شود که در آن متغیر وابسته در یک طرف معادله جدا نمی شود.

  رابطه ضمنی در ریاضی چیست؟

  در ریاضیات ، و به ویژه در حساب ، یک رابطه ضمنی معادله ای است که در آن هر دو طرف معادله توابع متغیرهای مختلفی هستند. به عبارت دیگر ، یک رابطه ضمنی معادله ای است که متغیر وابسته در یک طرف معادله جدا نمی شود.

  چه چیزی معادله را ضمنی می کند؟

  اگر هر دو طرف معادله توابع مختلفی باشند ، یک معادله ضمنی است. به عبارت دیگر ، یک معادله ضمنی یکی از مواردی است که متغیر وابسته در یک طرف معادله جدا نمی شود.< SPAN> یک تابع صریح تابعی است که توسط یک معادله تعریف می شود که متغیر وابسته در یک طرف معادله جدا می شود. یک تابع ضمنی تابعی است که توسط یک معادله تعریف می شود که در آن متغیر وابسته در یک طرف معادله جدا نمی شود.